Curso: Cálculo tensorial en variedades diferenciables

Ph.D. Oihane F. Blanco - Escuela Politécnica Nacional-Ecuador

Temario:

1. Cálculo tensorial en espacios vectoriales.
2. 1. Espacio vectorial y su base dual.
   2. Base para el espacio dual V∗.
   3. Aplicaciones multilineales: tensores de tipo (r, s).
   4. El producto tensorial y otras operaciones entre tensores.
   5. Bases para T^s_r(V ) y cálculo en coordenadas.
3. Introducción a las variedades diferenciables.
4. 1. Caracterizacio ́n de variedades diferenciales.
   2. Aplicaciones diferenciables sobre variedades diferenciables.
   3. El álgebra de las funciones diferenciables.
   4. Difeomorfismos entre variedades diferenciables.
   5. El espacio tangente y cotangente.
   6. El fibrado tangente y cotangente.
5. Cálculo tensorial sobre variedades diferenciables
6. 1. Campos tensoriales.
   2. Campos tensoriales localmente.
   3. Operaciones sobre campos tensoriales.
   4. p - forma y el ́algera exterior.

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On the equisymemetric stratification of the branch locus of moduli space of Riemann Surfaces.

Ph.D. Milagros Izquierdo - Linko ̈ping University-Suecia

Abstract: Since the 19th century the theory of Riemann surfaces has a central place in mathematics putting together complex analysis, alge- braic and hyperbolic geometry, group theory and combinatorial meth- ods. Since Riemann, Klein and Poincar’e among others, we know that a compact Riemann surface is a complex curve, and also the quotient of the hyperbolic plane by a Fuchsian group. In this talk I present various questions that have interested me in the study of spaces of Riemann surfaces: Spaces of Riemann surfaces (equivalently, of Fuchsian groups) are orbifolds where the singular locus is formed by Riemann surfaces with automorphisms: the branch loci. This talk is an introductory survey of the different methods, concepts and topics playing together in the theory of Riemann surfaces.

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Las variedades Calabi-Yau y sus deformaciones.

Ph.D. Elizabeth Terezinha Gasparim - Universidad Católica del Norte-Chile

Resumen: Explicaré lo que son las variedades Calabi-Yau y su importancia para lo que se llama el paisaje en la teoría de cuerdas. Entonces dar ́e ejemplos y describiré resultados nuevos sobre deformaciones. 

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Triangular conformal actions of the Quasi-abelian group on Riemann surface.

Doctorante Yerika L. Marin Montilla - Universidad de la Frontera-Chile

Abstract. The quasi-abelian group of order 2n, where n 4 is an integer, is the non-abelian group with the following presentation QAn = 〈x, y : x2n1 = y2 = 1, [x, y] = x2n2 〉. In this talk, we describe the triangular conformal actions of the group QAn on closed Riemann surfaces of genus g ¿2. As a consequence of these triangular actions we obtain that, up to isomorphisms, there is exactly two regular dessin d’enfant with automorphism group QAn. In [4], it was proved that the minimal genus over which QAn acts is 0(QAn) = 2n2 1 (i.e. the strong symmetric genus of QAn) and, we observe that up homeomorphisms, this minimal triangular conformal action of QAn is unique. Finally, we obtain that, this triangular conformal action is produced on a non-hyperelliptic Riemann surface. This is part of my Ph.D. Thesis, under the advisers Saúl Quispe and Rubén A. Hidalgo.

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Una introducción a las superficies K3 Mori dream.

Ph.D. Claudia Correa - Universidad de Tarapacá - Chile

Resumen: Una superficie K3 Mori dream es una superficie K3 cuyo anillo de Cox es finita- mente generado, y se conoce que el anillo de Cox de una superficie K3 es finitamente generado si y so ́lo si, su cono efectivo es poliedral, o equivalentemente si su grupo de automorfismo es finito. Lo bueno, es que las superficies K3 proyectivas con nu ́mero de Picard (mayor o igual a 3) y con grupo de automorfismo finito han sido clasificadas, y se sabe que hay un nu ́mero finito de familias con dicha propiedad. En esta charla mostrar ́e resultados que caracterizan a las superficies K3 Mori dream, por ejemplo en t ́ermino de su reticulado de Picard, y algunas t ́ecnicas que nos han permitido describir el anillo de Cox para ciertas familias especiales de superficies K3.

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¿Por qué estudiar las curvas elípticas?

Ph.D. Paola Comparin - Universidad de la Frontera-Chile

Resumen: En esta charla veremos qu ́e son las curvas el ́ıpticas, uno de los objetos ma ́s estudia- dos en Geometr ́ıa Algebraica por sus propiedades y aplicaciones, entre otras a la criptograf ́ıa. Hablaremos del problema de contar puntos racionales en las curvas el ́ıpticas y co ́mo esa pregunta se relaciona con aplicaciones. Cuando se generaliza la definicio ́n de curvas el ́ıpticas se obtienen objetos de dimensiones ma ́s altas llamados variedades de Calabi-Yau. Veremos una descripcio ́n de las variedades de Calabi-Yau de cualquier dimensio ́n y el interés de estudiarlas.

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Conociendo al grupo SL(2,Z) a través de sus acciones.

Ph.D. Rita Jiménez - Investigadora en la Unidad Oxaca del Instituto de Matemáticas de la Universidad Nacional Auto ́noma de México-México

Resumen: En esta charla nos centraremos en el grupo de matrices 2x2 con coeficientes enteros y determinante 1. Bajo la premisa ”los grupos, como las personas, son conocidos por sus acciones”, exploraremos algunas de las conexiones entre las propiedades algebraicas del grupo y las propiedades topológicas y geométricas de los espacios donde actúa.

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Estudiando algúnas propiedades de las superficies K3 a través de otras superficies.

Ph.D. Yulieth Prieto - Centro Internacional de Física Teórica -Italia

Resumen: En este seminario, abordaremos diversas cuestiones relacionadas con los espacios de moduli de superficies K3 que presentan especificas propiedades geométricas (por ejemplo, admitir automorfismos de orden finito o fibraciones elípticas). Observaremos que, en ocasiones, el problema esta ́ vinculado al estudio de otras superficies. El m ́etodo que adoptaremos implica recubrimientos finitos, una t ́ecnica cl ́asica bien comprendida en la geometr ́ıa algebrai- ca, que nos permitir ́a comprender mejor tanto la geometr ́ıa de las superficies K3 de inter ́es como la geometr ́ıa de superficies racionales, Enriques y, en ocasiones, otras superficies K3. En la segunda parte de este seminario, exploraremos algunas aplicaciones, analizando si los automorfismos preservan o no la 2-forma simpléctica.

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Ricci flow of G2-type real manifolds.

Ph.D. Julieth Paola Saavedra - University of Ceara-Brasil

Abstract: We investigate homogeneous Riemannian geometry on real flag manifolds of the split real form of g2. We characterize the metrics that are invariant under the action of a maximal compact subgroup of G2 and we explore the Ricci flow for the case where the iso- tropy representation has no equivalent summands, employing techniques from the qualitative theory of dynamical systems. This is joint work with Brian Grajales and Gabriel Rondon.  

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Álgebra y Geometría, una interacción fructífera.

Ph.D. Anita M. Rojas - Universidad de Chile-Chile

Resumen: Numerosos son los ejemplos de interacciones virtuosas entre diferentes ́areas de la Matema ́tica. En esta charla presentaremos una de ́estas: C ́omo la Teor ́ıa de Representaciones de grupos finitos se puede utilizar para comprender aspectos de inter ́es de los espacios de módulos de variedades abelianas y superficies de Riemann. 

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El Problema XIV de Hilbert y las explosiones del plano proyectivo.

Ph.D. Michela Artebani - Universidad de Concepción-Chile

Resumen: El Problema XIV de Hilbert plantea si ciertas subalgebras de anillos de polinomios son finitamente generadas. Hilbert conjetur ́o que la respuesta era afirmativa, pero en 1959 Nagata descubrio ́ un contraejemplo, inspirado por la Geometr ́ıa. En esta charla explorare- mos la historia de este problema y su conexio ́n con la finita generación de ciertas  algebras graduadas asociadas a explosiones del plano proyectivo.

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